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集合论基础

集合论基础

集合的逻辑记号

  • $A$&$B$ 表示A及B
  • $A~or~B$ 表示A或B
  • $A\Rightarrow B$ 表示A推出B/有A就有B
  • $A\Leftrightarrow B$ 表示A、B等价/当且仅当A,B
  • $(\exist x)P$ 表示存在具有性质P的x
  • $(\forall x)P$ 表示对于所有的x都具有性质P

集合的运算

交、差、并、补,交换律、结合律、分配律

吸收律: \((A\cup B)\cap A=A\\ (A\cap B)\cup A=A\) $De~Morgan$: \((A\cup B)^{\complement}=A^{\complement}\cap B^{\complement}\\ (A\cap B)^{\complement}=A^{\complement}\cup B^{\complement}\\\) 直积运算/笛卡尔乘积: \(C=A\times B=\{(a,b)|a\in A,b\in B\}\)

映射

完全$1-1$映射=双射=到上的$1-1$映射

如果集合A和B之间可以建立一个完全$1-1$映射,那么它们具有相同的浓度。和自然数或它的真子集浓度相同的集合,被称为可数集,否则是不可数集

【定理1.2】如果集合A、B均为可数集,则$A\cup B$,$A\times B$也均为可数集。

proof:

先证明$A\times B$是可数集,等价证明$\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+$是可数集。 \(def~f(n,m)=2^n5^m\\ if~\exists p,q,st~f(n,m)=f(p,q)\\ 2^n5^m=2^p5^q\\ if~n<p,5^m=2^{p-n}5^q,5^mmod2\equiv1\neq2^{p-n}5^q\equiv0\\ if~n>p,5^q=2^{n-p}5^m,the~same~as~above,\therefore p=n\\ Thus~m=q\) 接下来进一步证明可数个可数集$A_i$的并集也是可数集 \(def~f_i:\mathbb{Z}^+\rightarrow A_i,g:\mathbb{Z}^+\rightarrow\mathbb{N} \\ def~h(n,m)f_{g(n)}(m)\\ \therefore h:\mathbb{Z}^+\times\mathbb{Z}^+\rightarrow \cup_{i\in \mathbb{N}}A_i\) 由前推论可得证。

关系

【定义】集合A上的一个关系$\sim$指判断$\forall a,b\in A$,有序偶$(a,b)$是否满足某种条件。若满足,记为$a\sim b$,若不满足,则记为a和b没有关系。

次序关系

  • $\forall a\in X,a\sim a$
  • $a\sim b$&$b\sim a\Rightarrow a=b$
  • $a\sim b$&$b\sim c\Rightarrow a\sim c$

则这个关系定义了次序,集合X是一个有序集,记为$(X,\le)$

等价关系

  • 自反律:$\forall a\in A\Rightarrow a\sim a$
  • 对称律:$a\sim b\Rightarrow b\sim a$
  • 传递律:$a\sim b$&$b\sim c\Rightarrow a\sim c$

则这个关系定义了等价关系.相等关系 (equality relation) 是一种特殊的等价关系,可以理解为”等于”的意思。它满足反对称性、传递性和反射性。但一般而言相等要保证所有表现均等价。

集合的分类

分类:集合分为互不相交的子集,称为类。类的全体称为分类。

【定理1.3】集合X的一个分类可以确定一个等价关系,而一个等价关系也可以确定一个分类。

proof:

分类$\Rightarrow$等价关系是易证的,参见书P8。下证等价关系$\Rightarrow$分类 \(def~\sim~is~an~equivalence~relation\\ for~a\in X,A_a=\{b|b\in X\&b\sim a\}\\ \because reflection:a\in A_a\\ \because transitivity,\therefore \forall c\notin A_a,a\nsim c\) 商集合:由一个等价关系确定的分类中,类的集合。 \(u=X/\sim=\{A_a|a\in X\}\) 【同余关系确定的集合】同余关系显然是一个等价关系,这个关系确定的等价类称为剩余类。 \(\forall a\in X,A_a=\{b|b\in X\&b~mod~m\equiv a\}\\ b=a+km,k\in\mathbb{Z}\) 记$A_a$为$\bar{a}$,显然有$\bar{a}=\overline{a+km},k\in\mathbb{Z}$。

【等价核】对于映射$f:X\rightarrow Y$,定义等价关系为$a\sim b\Leftrightarrow f(a)=f(b),a,b\in X$,该等价关系称作映射的等价核,记作$Ker(f)$。由于等价关系就是分类,所以等价核就是对应等价关系的商集合。

自然映射被定义为$f:X\rightarrow u$。立即有下述定理:

【定理1.4】对于映射$f:X\rightarrow X/\sim$,$Ker(f)=\sim=u$

用自然映射分解任意映射,有下述定理:

【定理1.5】 \(\forall f:X\rightarrow Y,\exist g,h,st~f=g\circ h,\\ h:X\rightarrow X/Ker(f),g:X/Ker(f)\rightarrow f(X)\) 这是因为$g(A_a)=f(a)$。比如说对于矩阵A定义的线性映射,核一般指$Ax=0$构成的空间,对于这个空间而言,可以取一个元素代表整个空间,因为它们的象是重合唯一的。

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