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量子力学和群论

量子力学和群论

n个粒子构成的量子体系S的Hamilton函数为 \(H=-\hbar^2\sum_k\frac{\Delta_k}{2m_k}+U(x_i,y_i,z_i)\\ \Delta_k=\frac{\partial^2}{\partial x_k^2}+\frac{\partial^2}{\partial y_k^2}+\frac{\partial^2}{\partial z_k^2}\) 从物理的角度出发,我们需要找到使哈密顿量不变的坐标变换。这种变换可以称为:体系S所容许的变换或者体系S的对称变换

由于体系S用态函数描述,考虑哈密顿量/哈密顿算符的本征方程 \(\hat{H}\psi=E\psi\) 在坐标变换g下,态函数的变换为:$\psi\rightarrow g\psi$。哈密顿量不变意味这我们希望变换后的态函数能使得上面的这个方程能恒成立。唯象的思考(胡说八道),这个坐标变换应该对特征子空间封闭,亦即这个坐标变换相对于一般线性群全体,应该构成其的一个不变子群,所以得到: \(H=gHg^{-1},[H,g]=0\) 易于验证。这个定义可以使得本征方程恒成立。

这里的证明最好还是看一下知乎专栏:一维偶势场下哈密顿算符的本征函数 - 师叔Tang的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/142834490

这种变换构成的群,称为S的(完全)对称群

群的表示

设$V_E$为体系S由H的本征函数张成的向量空间,其基设为${\psi_i}$。由于上一节所述的对称群中的群元对本征空间封闭,于是有: \(\forall g,g\psi_i=\sum_jG_{ij}\psi_j\) 则式中的$G_{ij}$就是由前文定义的基负载的群的表示。

  • 这个表示应当是既约的。
  • 这个表示空间如果还可以直和分解的,则其群也应当是一个子群。
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