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群论基础

# 群论基础

群的定义

群是集合和一个二元运算所组成的代数结构,且运算符合群公理。

【群公理】:封闭性,结合性,单位元,逆元。 \(Closeness:\forall a,b\in G,a\cdot b\in G\\ Association:\forall a,b,c\in G,a\cdot(b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c\\ Identity:\exists e\in G,st~e\cdot a=a\cdot e=a\\ Inverse:\forall a\in G,\exists a^{-1}\in G,st~a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a=e\) 阿贝尔群,亦称交换群,额外满足交换律。

子群和陪集

子群即是群G的非空子集合且同样在运算下构成一个群。

【定理2.2】集合意义上$H\subset G$,H是子群的充要条件是: \(\forall a,b\in H\Rightarrow ab^{-1}\in H\\ \forall a,b\in H\Rightarrow a^{-1}\in H,b^{-1}\in H\&ab\in H\\\)

陪集

【定义】H是群G的一个子群,a是G中的一个元素,则集合 \(H_a=a\circ H=\{ax|x\in H\}\) 这被称为H的左陪集。同理可以做出右陪集。

左陪集具有如下性质:

  • 元素个数与H相同

  • H本身也是H的左陪集

  • a也在陪集中

  • 设b属于H,则$H_b=H_a$ \(\forall b\in H,\exists x\in H,st~b=ax\\ \therefore bH=axH,\because H~is~closed,\therefore xH=H\)

  • 任意两个陪集或者相等或者不相交 \(\forall b\in H_a,bH=aH\\ \forall b\notin H_a,if~\exists x_1,x_2\in H,st~b\circ x_1=a\circ x_2\in H_a\\ \therefore b=a\circ x_2\circ x_1^{-1},\because x_2,x_1^{-1}\in H\\ \therefore b\in H_a, Contradiction\)

其中满足第四条关系称为a和b有等价关系(显然陪集是一个等价类)。

指数:或称阶数。对于给定的群G和子群H,指数定义为H在G中的相异陪集个数(包括其本身)。记为$(G:H)$

【Lagrange定理】n是群G的元素个数,m是子群H的元素个数。 \(n=(G:H)m\)

共轭

【定义】 \(\forall a,b\in G,\exists g\in G,st~a=gbg^{-1}\) 则称a为b的共轭,或者说ab互为共轭。

共轭关系显然是一个等价关系,因为同时满足自反律、对称律和传递律。

因此可以由共轭关系确定共轭类。共轭类具有如下性质:

  • 任意群G的单位元一定自身为一个共轭类
  • Abel群的每一个元素自身均为一个共轭类

原因是单位元和Abel群的元素都满足交换律。 \(\forall a\in G,\forall b\in G\because ab=ba,\therefore a=bab^{-1}\therefore A_a=\{a\}\)

不变子群和商群

商集合的定义式为: \(G/H=\{H,a_1H,a_2H\dots\}\) 一般而言,商集合都不是一个群。但子群H满足一定条件时,商集合就会成为商群。 【定义】 不变子群(正规子群)的定义是: \(aH=Ha,\forall a\in G,h_j\in H,\exists h_k\in H,st~ah_j=h_ka\) 很显然,不变子群其实就是对共轭运算封闭的子群。 【定理】 任意指数为2的子群均为不变子群。这只需要考虑到此时陪集只有H自身与另一个,所以左右陪集相同。

两个概念:

  • 单群:只有单位元和自身两个不变子群
  • 半单群:除了单位元之外,不存在满足交换律的Abel不变子群

【定理2.4】如果选择不变子群为H,则以此构造的陪集等价类是一个商群。 \(a_i H\circ a_j H=(a_i\circ a_j)H\\ \forall h_i,h_j\in H,a_ih_iH\circ a_jh_jH=(a_ih_ia_jh_j)H\\ =(a_ia_jh_kh_j)H,a_jh_k=h_ia_j,h_kh_j\in H\\ \therefore=(a_ia_j)H\)

同态和同构

【定义】同态是指建立在两个群之间的一个映射f \(f:G\rightarrow G',\forall a,b\in G,f(a\circ b)=f(a)\circ f(b)\)

此处(书P19)的定义是谬误的,逗号应该删去或者换成“乘法”符号

【同构】在同态的基础上,如果这个映射是一一对应的,则称为同构。记作 \(G\cong G'\) 同构具有性质:将G中的单位元和逆元分别映射到G’中的单位元和逆元 \(f(ae)=f(a)f(e)=f(a)\\ f(e)=f(aa^{-1})=f(a)f(a^{-1})\therefore f(a)^{-1}=f(a^{-1})\)

自同构群

定义群G自同构上的乘法:$f_1\circ f_2$表示先二型自同构再一型自同构,所有自同构映射和这一运算即为G的自同构群,记为: \(A(G)~or~Aut(G)\) 对于同态映射,我们同样可以定义核和象: \(Im(f)=\{f(g)|g\in G\}\\ Ker(f)=\{g|f(g)=f(e)=e',g\in G \}\) 【定理2.5】 $Im(f)$是G’的一个子群,这个由$Im(f)$和G是同构的就可以看出。$Ker(f)$是G的一个不变子群,这个事实可以由对共轭封闭看出: \(\forall x\in Ker(f),f(x)=e'\\ \forall y\in G,f(yxy^{-1})=f(y)f(x)f(y^{-1})=f(y)f(y^{-1})=e'\\ \therefore yxy^{-1}\in Ker(f)\) 自然得出第三个结论:$G/Ker(f)\cong Im(f)$

并有同态是同构的充要条件: \(Ker(f)=e,Im(f)=G'\)

同态的序列

【定义】同态映射的序列是指对于两个映射和三个群,有如下关系: \(G_1\stackrel{f}{\longrightarrow}G_2\stackrel{g}{\longrightarrow}G_3\) 而正合的定义是$Im(f)=Ker(g)$,则称该序列在$G_2$处是正合的。其实可以(部分情况下)写为: \(g\circ f(G_1)=e_3=id\) 【定理2.7】

  • 序列$id\stackrel{f}{\longrightarrow}G_1\stackrel{g}{\longrightarrow}G_2$是正合的充要条件是g为双射。
  • 序列$G_1\stackrel{f}{\longrightarrow}G_2\stackrel{g}{\longrightarrow}id$是正合的充要条件是f是满射。
  • 正合序列$id\rightarrow G_1\stackrel{f}{\longrightarrow}G_2\stackrel{g}{\longrightarrow}G_3\rightarrow id$,有$G_3\cong G_2/Im(f)$

直积群

群的直积是群的扩大,使得新群含有旧群的同构子群,相当于同时具有旧群的结构。

【定义】直积群的集合与运算定义为: \(G=G\times H=\{(g_1,g_2)|g_1\in G_1,g_2\in G_2\}\\ \forall g,h\in G,g\circ h=(g_1h_1,g_2h_2)\) 关于直积群分别保留了同构结构的说明: \(G_1'=\{(g_1,e_2)|g_1\in G_1\},G_2'=\{(e_1,g_2)|g_2\in G_2\}\\ G/G_1'\cong G_2',G/G_2'\cong G_1'\\ def~f:G_1\rightarrow G_1',Ker(f)=e_1,Im(f)=G_1'\\ the~same~as~G_2'\) 直积群的共轭关系也在这一乘法定义中,可以自然的得到,直积群的共轭类数目是原群共轭类数目的乘积。

自由群

我觉得可以到20节用到的时候再讲(摆了)。

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