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张量概述

张量概述

SO(2)群及其向量

SO(2)群是由二维平面上所有的定点转动构成的全体。不妨定义为: \(SO(2)=\{R_z(\theta)|0\le\theta\le2\pi \}\) $R_z(\theta)$是使得向量$r=xi+yj$逆时针旋转$\theta$角的变换。

描述这个变换有两种方法,一种是认为在定系中的旋转,另一种则是认为是基的旋转。我们采取后一种(另一种表述其实就是$\theta\rightarrow-\theta$,用矩阵符号表示为: \(R_z(\theta)=\pmatrix{\cos{\theta}&\sin{\theta}\\-\sin{\theta}&\cos{\theta}}\)

SO(2)群的张量

首先建立一阶张量,即向量。 \(\vec{A}=a_1\hat{i}+a_2\hat{j},\vec{B}=b_1\hat{i}+b_2\hat{j}\) 二阶张量用T表示,其通过一阶张量的张量积构造: \(T=\vec{A}\otimes\vec{B},T_{lm}=a_lb_m\) 在物理中,这个张量也称为并矢

在另一个系$\hat{i}’,\hat{j}’$系中,借用第1节中的推导: \(\vec{A}'=R_z(\theta)\vec{A},\vec{B}'=R_z(\theta)\vec{B}\\ \vec{A}'\otimes\vec{B}'=\{a_1'\vec{B}',a_2'\vec{B}' \}\\ =\{a_1'R_z(\theta)\vec{B},a_2'R_z(\theta)\vec{B} \}\\ =R_z(\theta)\{a_1'\vec{B},a_2'\vec{B} \}\\ =R_z(\theta)(R_z(\theta)A)\otimes B\\ =(R_z(\theta)\otimes R_z(\theta))(A\otimes B)\) 【定义】如果一个客观量在$(\hat{i},\hat{j})$和$(\hat{i}’,\hat{j}’)$​分别为T和T’,且满足 \(T'=(R_z(\theta)\otimes R_z(\theta))T\) 则称T为SO(2)群下的二阶张量。

对于任意n阶张量,在二维系里的分量具有形式: \(T_{i_1i_2\dots i_n},i_j\in\{1,2 \}\) 如果在两坐标系之间存在等式 \(T'=\prod_i^n\otimes R_z(\theta)T\) 则称T为SO(2)群下的n阶张量。

SO(3)群的张量

仿照SO(2)群中的推导,假设新基$\hat{i}’,\hat{j}’,\hat{k}’$在原基中的方向余弦为$(\cos{\alpha_i},\cos{\beta_i},\cos{\gamma_i})$

则坐标变换矩阵为: \(\gamma_{ij}=\pmatrix{\cos{\alpha_1}&\cos{\beta_1}&\cos{\gamma_1}\\ \cos{\alpha_2}&\cos{\beta_2}&\cos{\gamma_2}\\ \cos{\alpha_3}&\cos{\beta_3}&\cos{\gamma_3}}\) 那么具有$3^n$个分量的n阶张量,其属于SO(3)群的条件为: \(T'=\prod_i^n\otimes \gamma_{ij}T\) 值得注意的是: \(\gamma_{ij}\gamma_{ij}^T=I\)

惯性张量

【定义】三维空间中的惯性张量是一个二阶张量,其定义为: \(J=\sum_im_i(|r_i|^2I-r_i\otimes r_i)\) 其中I为二阶常值张量,即单位阵。

立即得到惯性张量的矩阵形式: \(J=\pmatrix{ \sum_im_i(y_i^2+z_i^2)&-\sum_im_ix_iy_i&-\sum_im_iz_ix_i\\ -\sum_im_ix_iy_i&\sum_im_i(x_i^2+z_i^2)&-\sum_im_iy_iz_i\\ -\sum_im_iz_ix_i&-\sum_im_iy_iz_i&\sum_im_i(x_i^2+y_i^2) }\) 【证明】 \((A\otimes B)C_{4\times1}\Leftrightarrow AC_{2\times2}B^T\) (读者自证不难)

由于物理定律的要求,角动量对于参考系变换是协变的。这可以由惯性张量和角动量张量积对基变换的协变性看出: \(L'=\gamma_{ij}L =\gamma_{ij}J\Omega =\gamma_{ij}J\gamma_{ij}^T\gamma_{ij}\Omega =J'\Omega'\)

O(3)群的张量

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 ### 真向量和赝向量

一般的向量$\vec{v_1}$和$\vec{v_2}$在反演变换中坐标变为相反数,但其叉积对于反演变换是不变的。前者称为真向量,后者称为赝向量。

O(3)群

在转动的基础上扩大变换群,使之对反演变换也封闭,就是O(3)群。O(3)群实际上就是正交群,定义为: \(O(3)=\{O|O\in GL(3,\mathbb{R}),O^TO=E \}\) 该群具有两种表示:

自然表示

如果一阶张量(三维向量)是按下面的规则(自然表示)变换: \(T'=(O_{ij})T\) 则其被称为真向量。

赝表示

如果一阶张量(三维向量)是按下面的规则(自然表示)变换: \(T'=\det(O_{ij})(O_{ij})T\) 则其被称为赝向量。

相比SO(3),从矩阵角度考虑,O(3)不再需要特征值为1,还可以是-1,因此有两种表示,代表了手性的变化,从而扩大了群。

齐次Lorentz群

在时空坐标系中,定义坐标: \(x_1=x,x_2=y,x_3=z,x_4=ict\) 由于狭义相对论光速不变的保证,有任意参考系中: \(x^2+y^2+z^2-c^2t^2=constant\) 相当于我们之前定义的四维向量模长不变。因此立即得到这个空间,定义为Minkowski空间中的变换为一种特殊的酉变换——Lorentz变换。 \(L=\{L_{ij}|L_{ij}\in GL(4,\mathbb{C}),L_{ij}^TL_{ij}=E,L_{ij}|_{i,j\le3\and i=i=4} \in\mathbb{R},L_{i4}\and L_{4j}\in i\mathbb{R} \}\)

齐次Lorentz群的张量

从第六节中的齐次洛伦兹群的自然表示中可以构造张量。而一种特殊的洛伦兹变换的矩阵形式为: \(\pmatrix{O_{ij}&0\\0&1}\) 这对应绝对时空观,或者说无相对速度参考系之间的变换。

在这种变换中的四维二阶张量的变换满足: \(T'=(L_{\mu\nu})T(L_{\mu\nu})^T,(L_{\mu\nu})=\pmatrix{(O_{ij})&0\\0&1} \\ \pmatrix{T_{11}'&T_{12}'&T_{13}'\\ T_{21}'&T_{22}'&T_{23}'\\ T_{31}'&T_{32}'&T_{33}'}=(O_{ij})\pmatrix{T_{11}&T_{12}&T_{13}\\ T_{21}&T_{22}&T_{23}\\ T_{31}&T_{32}&T_{33}}(O_{ij})^T\\ \pmatrix{T_{14}'\\T_{24}'\\T_{34}'}=(O_{ij})\pmatrix{T_{14}\\T_{24}\\T_{34}}\\ \pmatrix{T_{41}'&T_{42}'&T_{43}'}=\pmatrix{T_{41}&T_{42}&T_{43}}(O_{ij})^T\\ T'_{44}=T_{44}\) 所以从三维空间来看,4维2阶张量是由一个3维2阶张量,两个3维向量和一个三维标量组成。

电磁场张量和Maxwell方程

由于电磁场方程可以导出真空光速不变,所以其本身其实是相对论性的。通常的Maxwell方程组是三维形式的,但可以改造为四维形式使其具有相对论协变性。

真空中的Maxwell方程组的形式为: \(\nabla\times B=\mu_0\varepsilon_0\frac{\part E}{\part t}+\mu_0j\\ \nabla \times E=-\frac{\part B}{\part t}\\ \nabla\cdot B=0\\ \nabla\cdot E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}\) 构造电磁场张量: \(F=(F_{\mu\nu})=\pmatrix{0&B_z&-B_y&-\frac icE_x\\ -B_z&0&B_x&-\frac icE_y\\ B_y&-B_x&0&-\frac icE_z\\ \frac icE_x&\frac icE_y&\frac icE_z&0}= \pmatrix{\mathbf{B}&\mathbf{-E}\\ \mathbf{E}&0}\) 同时我们观察到,由于体积的洛伦兹收缩: \(V=\frac1{\gamma}V_0\) 所以有体电荷密度: \(\rho=\gamma\rho_0,J=\gamma\rho_0u\) 由于: \(-(c\rho)^2+J^2=-\rho_0^2c^2\) 所以构造Minkowski空间中的四维矢量: \(J^{\mu}=(j_x,j_y,j_z,ic\rho)\) 立即可以改写Maxwell方程为: \(\part_{\nu}F^{\mu\nu}=\mu_0J^{\mu}\\ \part_{\lambda}F^{\mu\nu}+\part_{\mu}F^{\nu\lambda}+\part_{\nu}F_{\lambda\mu}=0\) 如果改写电磁场张量为其对偶张量$G^{\mu\nu}$还可以方便地改写第二条公式为: \(\part_{\nu}G^{\mu\nu}=0\) 在Minkowski空间中变换时,电磁场张量的变换规律遵从洛伦兹变换: \((F_{\mu\nu}')=(L_{\mu\nu})(F_{\mu\nu})(L_{\mu\nu})^T\)

四维不变量

四维不变量指在洛伦兹变换下张量的不变量。

  • 迹不变:酉相似变换保迹

  • 行列式不变:洛伦兹变换保模,我们可以得到Poynting矢量: \(|(F_{\mu\nu})|=-\frac1{c^2}(\mathbf{E}\cdot\mathbf{B})^2\)

  • 张量$T\otimes T$的(二次)缩并是一个不变量,应用到电磁场张量上,可以得到 \(c^2\mathbf{B}^2-\mathbf{E}^2=const\)

    注意到迹实际上就是原张量的一次缩并

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