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向量空间的理论

向量空间的理论

向量空间的基础理论

线性相关

如果有: \(\sum_{i=1}^sa_iv_i=0\Rightarrow a_i=0,i=1,2\dots s\) 则称其为线性无关的,否则是线性相关的。

子空间

域K上向量空间V的一个非空子集W,如果: \(\mathbb{W}+\mathbb{W}\subset \mathbb{W}\\ \forall a\in\mathbb{K},a\mathbb{W}\subset\mathbb{W}\) 则称W是V的子空间。

子空间的交与和仍然是子空间。

直和

【定义】如果若干空间的和空间: \(\mathbb{W}=\sum_{i=1}^n\mathbb{W}_i=\{\sum_{i=1}^n w_i|w_i\in\mathbb{W}_i \}\) 如果这个和空间里每一个元素的分解是唯一的,则称此时的加法运算为直和,分解为直和分解,子空间为直和因子。记为: \(\mathbb{W}=\sum_{i=1}^n\oplus\mathbb{W}_i\)

商空间

\[\forall v_1,v_2\in\mathbb{V},if~v_1-v_2\in\mathbb{W}\\ then~v_1\sim v_2(\mod\mathbb{W})\]

所以所有与v相合的元素组成的相合类可以表示为: \((v)=v+\mathbb{W}\) 同样地,引入商集合: \(\mathbb{V}/\mathbb{W}=\{(v)|v\in\mathbb{V} \}\) 根据向量等价的推广性,所有等价向量的等价类都是相同的。每一个等价类,都可以坍缩到了一个点上。

在商集合中引入线性运算: \((\vec{v}_1)+(\vec{v}_2)=(\vec{v}_1+\vec{v}_2)\\ a(\vec{v})=(a\vec{v}),a\in\mathbb{K}\) 因此商集合构成了域K上的向量空间,称为商空间。

商空间中的任一向量(也即向量空间V中的任一向量)v可以在向量空间的基下表示为: \(\vec{v}=\sum_{i=1}^na_i\vec{u}_i\\ (v)=\sum_{i=1}^na_i(u_i)\\ \because \vec{u}_i\in\mathbb{W},i=1,2\dots j\\ \therefore \vec{u}_i-\vec{0}\in\mathbb{W}\therefore \vec{u}_i\sim\vec{0},(u_i)=(0),i=1,2\dots j\) 易证其他的基向量对应相合类是线性无关的。

所以在有限维条件下,商空间有重要推论: \(\dim\mathbb{V}/\mathbb{W}=\dim\mathbb{V}-\dim\mathbb{W}\)

线性映射

在同一个域上的不同线性空间之间建立映射。定义线性映射: \(\forall v,v_1,v_2\in\mathbb{V},a\in\mathbb{K},f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{U}~satisfy\\ f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)\\ f(av)=af(v)\) 线性映射的全体记为$Gl(\mathbb{V},\mathbb{U})$。在这个空间中定义线性运算: \((f+g)(\mathbb{V})=f(\mathbb{V})+g(\mathbb{V})\\ (af)(\mathbb{V})=af(\mathbb{V})\) 矩阵表示为一般线性矩阵群 \(f,g\in GL(n,\mathbb{K})\)

对偶空间

对偶空间是一个同构于原向量空间的空间(一般而言)。首先定义线性泛函为: \(f:\mathbb{V}\rightarrow\mathbb{K},\forall a\in\mathbb{K},\vec{v}_1,\vec{v}_2\in\mathbb{V} \\ f(\vec{v}_1+\vec{v}_2)=f(\vec{v}_1)+f(\vec{v}_2)\\ f(a\vec{v})=af(\vec{v})\) 同上定义线性运算: \((f+g)(\mathbb{V})=f(\mathbb{V})+g(\mathbb{V})\\ (af)(\mathbb{V})=af(\mathbb{V})\) 我们称所有线性泛函的集合在这个线性运算下构成的空间为V的对偶空间。

对偶空间的基定义为($v_j$为向量空间的基): \(\omega_i(v_j)=\delta_{i,j},i,j=1,2\dots n\\\) proof: \(\omega_i(v)=\omega_i(a^jv_j)=a^j\omega_i(v_j)=a_i\\ \forall v_j,j=1\dots n,\lambda_i\omega^i=0\\ \lambda_i\omega^i(v_j)=\lambda_j\therefore\lambda_j=0\\ \forall f\in\mathbb{V}^*,f=f(v_i)\omega^i\)

不变子空间

【定义】如果$f(\mathbb{W})\subset\mathbb{W}$,则称W为f的不变子空间。

不变子空间的应用是若尔当矩阵: \(if~v_1,v_2\dots v_n~is~basis~vectors~of~\mathbb{V}\\ in~which~v_1,v_2\dots v_r~is~basis~vectors~of~\mathbb{W}\\ then~f(v_j)=F_j^iv_i,i=1,2\dots n,j_{min}=r+1\\ F=\pmatrix{F_1^1&F_2^1&\cdots&F_r^1&F_{r+1}^1&\cdots&F_n^1\\ F_1^2&F_2^2&\cdots&F_r^2&F_{r+1}^2&\cdots&F_n^2\\ \vdots&\vdots&&\vdots&\vdots&&\vdots\\ F_1^r&F_2^r&\cdots&F_r^r&F_{r+1}^r&\cdots&F_n^r\\ &&&&F_{r+1}^{r+1}&\cdots&F_n^{r+1}\\ &&0&&\vdots&&\vdots\\ &&&&F_{r+1}^{n}&\cdots&F_n^{n} }\\ =\pmatrix{F_1&*\\0&**}\) 而如果原空间V可以表示为: \(\mathbb{V}=\sum_{i=1}^s\oplus\mathbb{W}_i\) 则显然可以表示为分块对角矩阵的形式。

Euclid空间

简单的讲:定义了内积的线性空间就是欧几里得空间。

内积具有性质:

  • 对称性
  • 双线性
  • 正定性

Schwarz不等式 \(<u,v>^2\le||u||^2||v||^2\) 正交变换

正交变换的定义是满足下述关系的线性变换: \(<v_1,v_2>=<f(v_1),f(v_2)>\) 正交变换具有性质:

  • 保持内积不变,对于任一向量,模长不变。

  • 正交基映射为另一组正交基

  • 在正交基下的矩阵为正定矩阵 \(<f(v_1),f(v_2)>=v_1^TF^TFv_2=<v_1,v_2>\)

  • 矩阵特征值平方为1,由上一条显然推出

正交补空间

如字面意思所述,正交补空间是通过正交关系创造的相异子空间。其具有性质,不变子空间的正交补为不变子空间。 \(\mathbb{E}'\subset \mathbb{E},\forall v\in\mathbb{E}',\exists v_1\in\mathbb{E}',f(v_1)=v\\ \forall v_2\in\mathbb{E}'',<v_2,v_1>=0\\ \because f~is~orthogonal\therefore <f(v_2),f(v_1)>=<f(v_2),v>=0\\ \therefore f(v_2)\in\mathbb{E}''\)

酉空间

酉空间是欧几里得空间在复数域上的拓展,但由于复数域相比实数域缺少了性质,所以酉空间里的内积相对而言缺失了对称性。其性质为:

  • 共轭对称性
  • 单线性(由于对称时需要共轭) 此处书定义有误
  • 正定性

正定变换相应变为酉变换,或称么正变换。而正交变换章节中的转置相应变为厄米共轭,记为: \(F^{\dagger}\)

模与模理论

数域退化为数环时,向量空间退化为模。

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