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代数系和数系

代数系和数系

代数系

代数系是一个集合,并具有一个或多个关系,并具有在该集合上定义的若干运算,满足一系列运算法则。

自然数

自然数用$\mathbb{N}$表示,具有性质:

  • 有序性,参见集合论4.1的次序关系。
  • 无限性
  • 任何非空真子集都具有最小数
  • 有限归纳原理

有限归纳原理 \(S\subseteq \mathbb{N},1\in S,if~n-1\in S\Rightarrow n\in S,then~S=\mathbb{N}\\\) 这就是数学归纳法。

半群

和群相比,半群只需要满足运算的封闭性和结合性。

同理,如果满足交换律,则称为Abel半群或者可换半群。自然数集合 \((\mathbb{N},+)\) 是一个Abel半群。

整数域,整域

显然的,我们可以得到:$(\mathbb{Z},+)$是一个Abel群,$(\mathbb{Z},\cdot)$则是一个Abel半群。

如果定义在集合K上有加法和乘法两种运算 \((\mathbb{K},+)is~an~Abel~group\\ (\mathbb{K},\cdot)is~a~half~group\\ (\mathbb{K},+,\cdot)satisfy~distributive~law\) 则$(\mathbb{K},+,\cdot)$为一个环。而如果乘法运算额外满足交换律,则称为Abel环。

满足消去律的可换环(实方阵环不是,因为不一定满秩有逆),称为整域

域和有理数域

由于零元(加法的单位元)不具有乘法上的逆元,所以需要对环做额外定义才能称为域。

【定义】 \(1、\mathbb{K}-\{0\}is~not~empty\\ 2、(\mathbb{K},+,\cdot)is~a~ring\\ 3、(\mathbb{K}-\{0\},\cdot)is~an~Abel~group\\\) 则称$(\mathbb{K},+,\cdot)$为域。在这个域里可以额外进行除法。

Cauchy数列和实数域

Cauchy数列 \(\forall \varepsilon>0,\exists q\in\mathbb{N},st\\ \forall m,n\ge q,|a_n-a_m|<\varepsilon\) Cauchy数列必定收敛,但是在有理数域上不一定有极限。因为有理Cauchy数列的极限可以是无理数。

实数域是不可数的,与实数域双射的集合具有连续势

复数域和代数基本定理

如果说,有理数域是对所有一次方程封闭。那么,复数域可以说是对任何阶次的方程封闭的数域。这有助于代数基本定理。

代数基本定理 任意复系数多项式都具有至少一个复根,因此具有和阶数相等的复根(包括重根的重数)。

这个定理的证明可以考虑儒歇定理。

超复数数系

由于复数域和实数域的关系可以看成: \(\mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}=\{(a,b)|a\in\mathbb{R},b\in\mathbb{R} \}\\ def~+~as~(a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)\\ def~\cdot~as~(a,b)\cdot(c,d)=(ac-bd,ad+bc)\\\) 所以可以考虑是否存在更高维度的直积创造更大的数集,并定义可以使其成为数域的两种运算。这种更大数系就是超复数系。

四元数系

【定义】 \(\mathbb{Q}(\mathbb{R})=\{x|x=a+b\hat{i}+c\hat{j}+d\hat{k} \}\\ def~+~as~x_1+x_2=a_1+a_2+(b_1+b_2)\hat{i}+(c_1+c_2)\hat{j}+(d_1+d_2)\hat{k}\\ def~\cdot~as~x_1\cdot x_2=(a_1+b_1\hat{i}+c_1\hat{j}+d_1\hat{k})(a_2+b_2\hat{i}+c_2\hat{j}+d_2\hat{k})\\\) 其中$\hat{i},\hat{j},\hat{k} $的运算定义在下列表中:

$(i,j)=a_{i,1}a_{1,j}$$\hat{i}$$\hat{j}$$\hat{k}$
$\hat{i}$-1$\hat{k}$$-\hat{j}$
$\hat{j}$$-\hat{k}$-1$\hat{i}$
$\hat{k}$$\hat{j}$$-\hat{i}$-1

实际上,四元数系不是数域。因为$\mathbb{Q}(\mathbb{R}-{0})$对乘法不是Abel群。这可以从下面的矩阵表示看出。

四元数的四个坐标向量可以用如下泡利矩阵表示: \(E=\pmatrix{1&0\\0&1},\sigma_x=\pmatrix{0&1\\1&0},\sigma_y=\pmatrix{0&-i\\i&0},\sigma_z=\pmatrix{1&0\\0&-1}\) 四元数可以描述转动:绕方向余弦为$(\cos{\alpha},\cos{\beta},\cos{\gamma})$的轴旋转角度$\theta$,可以表示为: \(\mathbb{Q}(\vec{n},\theta)=\cos{\frac{\theta}2}+\sin{\frac{\theta}2}(\cos{\alpha}\hat{i}+\cos{\beta}\hat{j}+\cos{\gamma}\hat{k})\)

八元数系

其乘法表为:

1ijkliljlkl
i−1kjillkljl
jk−1ijlkllil
kji−1kljlill
liljlkl−1ijk
illkljli−1kj
jlklliljk−1i
kljlillkji−1

十六元数系

十六元数系又称Clifford代数。在量子场论中得到了很多应用,因此在物理中又称Dirac代数。物理含义是: \((\sum_{\mu=1}^4\gamma_{\mu}\frac{\part}{\part x_{\mu}}+m)\psi(x)=0\\ (\nabla^2-\frac1{c^2}\frac{\part^2}{\part t^2}-m^2)\psi(x)=0\) 其中的$\gamma_{\mu}$可以抽象为十六元数。其Dirac矩阵形式为: \(\gamma_1=\pmatrix{0&-i\sigma_1\\i\sigma_1&0},\gamma_2=\pmatrix{0&-i\sigma_2\\i\sigma_2&0}\\ \gamma_3=\pmatrix{0&-i\sigma_3\\i\sigma_3&0},\gamma_4=\pmatrix{E&0\\0&E}\)

向量空间

向量空间是一个定义了线性运算的代数系。其是一个建立在数域K的向量集合V。线性运算定义为: \((\mathbb{V},+)is~an~Abel~group\\ \forall a_i\in\mathbb{K},\vec{v_i}\in\mathbb{V},a\vec{v}\in\mathbb{V}~and\\ a(\vec{v_1}+\vec{v_2})=a\vec{v_1}+a\vec{v_2}\\ (a_1+a_2)\vec{v}=a_1\vec{v}+a_2\vec{v}\\ (a_1a_2)\vec{v}=a_1(a_2\vec{v})\\ 1\cdot\vec{v}=\vec{v}\) 运算是线性的代数结构,都是一个向量空间。比如之前的实数域,复数域,到线性微分方程的解,均具有线性空间的概念。

域上的代数

在向量空间的基础上,定义代数: 【定义】 在向量空间中的向量集合V上额外定义乘法,使之成环,并且该乘法满足结合律,则称此时的运算体系为结合代数。

之前所有的数系,都是K在K上的代数。

Lie代数

当代数满足下述规则: \(A\times A=0,(A+B)\times C=A\times B+A\times C\\ C\times (A+B)=C\times A+C\times B\\ (A\times B)\times C+(B\times C)\times A+(C\times A)\times B=0\) 则称其为李代数。 李代数的例子有:

一般线性群

$Gl(n,\mathbb{C})$ 中定义矩阵乘法: \(A\circ B=[A,B]=AB-BA\) 显然是一个李代数。

Poisson括号

在正则变量p,q描述中,函数u,v的泊松括号定义为: \([u,v]=\sum_{i=1}^n(\frac{\part u}{\part q_i}\frac{\part v}{\part p_i}-\frac{\part v}{\part q_i}\frac{\part u}{\part p_i} )\) 同上,这也是一个李代数。

谐振子能级

泊松括号联系了经典力学和量子力学,但从经典力学到量子力学的过程中,需要将泊松括号乘以$i\hbar$,各种物理量对应算符。

一维谐振子的哈密顿算符应当写为: \(\hat{H}=\frac12(\hat{p}^2+\hat{q}^2)\\\) 构造新的算符: \(\hat{a}^+=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}(\hat{p}+i\hat{q})\\ \hat{a}^-=\frac{1}{\sqrt{2\hbar}}(\hat{p}-i\hat{q})\\\) 数学处理: \([\hat{a}^+,\hat{a}^-]=\frac1{2\hbar}(i[\hat{q},\hat{p}]-i[\hat{p},\hat{q}])=-1\\ \hat{a}^+\hat{a}^-=\frac i{2\hbar}([\hat{q},\hat{p}]-[\hat{p},\hat{q}]), \hat{a}^-\hat{a}^+=\frac i{2\hbar}([\hat{p},\hat{q}]-[\hat{q},\hat{p}])\\ \therefore [\hat{a}^+,\hat{a}^-]=\frac12(\hat{a}^+\hat{a}^--\hat{a}^-\hat{a}^+)\\\) 用新算符反表示旧算符: \(\hat{p}=\frac{\sqrt{2\hbar}}2(\hat{a}^++\hat{a}^-)\\ \hat{q}=\frac{\sqrt{2\hbar}}{2i}(\hat{a}^+-\hat{a}^-)\\\) 则改写哈密顿算符为: \(\hat{H}=\frac12(\frac12 \hbar(\hat{a}^++\hat{a}^-)^2-\frac12\hbar(\hat{a}^+-\hat{a}^-)^2)\\ =\frac{\hbar}2([\hat{a}^+,\hat{a}^-]+[\hat{a}^-,\hat{a}^+])\\ =\hbar(\hat{a}^+\hat{a}^-+\frac12)\) 由于: \([\hat{a}^+,\hat{a}^-]=-1,[\hat{H},\hat{a}^-]=\hbar[\hat{a}^+,\hat{a}^-]\hat{a}^-=-\hbar\hat{a}^-\\ [\hat{H},\hat{a}^+]=\hbar\hat{a}^+[\hat{a}^-,\hat{a}^+]=\hbar\hat{a}^+\) 就有: \([[\hat{H},\hat{a}^+],\hat{a}^-]+[[\hat{a}^+,\hat{a}^-],\hat{H}]+[[\hat{a}^-,\hat{H}],\hat{a}^+]=0\) 所以构成一个李代数。

要计算能级,即求算符的本征值。由于$\hat{a}^+\hat{a}^-$为厄米算符,所以可以其本征值为自然数。进而得到了哈密顿量的本征值——也就是能量的分立值: \(E_n=(n+\frac12)\hbar,n\in\mathbb{N}\) 以上讨论,均假设了$m=\omega=1$。

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